MATEMATICAS II(CUARTO PARCIAL)

sábado, 7 de junio de 2014

PRINCIPIOS Y CRITERIOS DE LA PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA.

REGLA DE ADICIÓN

sta regla expresa la probabilidad de que ocurran   dos o más sucesos a la vez,   P ( A U B).

Puede presentarse    de dos formas: para conjuntos   con intersección y   para   conjuntos   mutuamente excluyentes. Veamos:

Para   conjuntos con Intersección:



  Esto se debe a que sumamos la probabilidad de A más la  probabilidad de B , pero como ya habíamos sumado la intersección, entonces la restamos.

Para   conjuntos con  Mutuamente excluyentes:



En este caso, no hay ningún problema en sumar ambas probabilidades.

Ejemplo 1:  Se lanzan un   dado. Usted gana $ 3000   pesos   si   el resultado es    par  ó   divisible por tres   ¿Cuál es la probabilidad de ganar ?

Lo que primero hacemos   es definir los sucesos :

Sea A = resultado par : A = { 2, 4, 6 }

Sea B = resultado   divisible por 3 : B = { 3, 6 }   . Ambos sucesos tienen intersección ?

                                                                                 Luego,





Ejemplo 2 : Se tiene una baraja de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿ Cuál es la probabilidad de   sacar una   Reina  ó un As ?

Sea A = sacar una reina    y   sea B = sacar un as,    entonces :



NOTA:   Si observas esta   regla, puedes   notar que se relaciona   fuertemente   con la Unión entre   conjuntos ( ó ) y es una suma.

REGLA DE MULTIPLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.

Ejemplos:
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?

La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?

Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables: HHM – HMH – MHH
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Es la probabilidad de obtener un suceso, dado que ya ocurrió otro. Es decir, si tenemos los sucesos A y B que pertenecen a un mismo espacio muestral S , y si la P (A) es diferente de cero, entonces esta probabilidad que esta designada por :

Para calcular esta probabilidad es necesario conocer tanto la probabilidad marginal de uno de los sucesos ( P(A) ) como la probabilidad de la intersección de ambos ( o la probabilidad cuando ocurran los dos sucesos a la vez ).

Ejemplo 3 : La probabilidad de que una persona tenga una cuenta de ahorros es de 0,65 y la probabilidad de que invierta en un CDT y ahorre en una cuenta de ahorros es de 0,30. Se seleccionó una persona al azar y resultó tener una cuenta de ahorros ¿ Cuál es la probabilidad de que tenga también un CDT ?

Sea A = tener una cuenta de ahorros , B = tener un CDT

RESEÑA HISTORICA DE LA ESTADISTICA Y DE LA PROBABILIDAD

ESTADÍSTICA

La palabra estadística deriva del latín medieval Estatus, donde tiene el sentido de estado político.

Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos datos relativos a la

población y la riqueza del país.

De acuerdo al historiador griego Heródoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides.

En el mismo Egipto, Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de

verificar un nuevo reparto.

En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de los datos

estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El rey David por otra

parte, ordenó a Joab, general del ejército hacer un censo de Israel con la finalidad de

conocer el número de la población.

También los chinos efectuaron censos hace más de cuarenta siglos. Los griegos

efectuaron censos periódicamente con fines tributarios, sociales (división de tierras) y

militares (cálculo de recursos y hombres disponibles). La investigación histórica revela

que se realizaron 69 censos para calcular los impuestos, determinar los derechos de voto y ponderar la potencia guerrera.

Se utilizaba como una aritmética estatal para asistir al gobernante que necesitaba conocer la riqueza, el número de sus súbditos con el objeto de recaudar impuestos o presupuestar la guerra. Se tienen ejemplos de uso de la estadística con la recaudación de impuestos hacia los Romanos, Guillermo el conquistador realizó censo de la tierras de Inglaterra (Domesday Book), la navegación Flamenca la aplicó en el seguro de embarque......

Pero fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron

emplear los recursos de la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de la

población y sus funcionarios públicos tenían la obligación de anotar nacimientos,

defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos periódicos del ganado y de las

riquezas contenidas en las tierras conquistadas. Para el nacimiento de Cristo sucedía uno de estos empadronamientos de la población bajo la autoridad del imperio.

Durante los mil años siguientes a la caída del imperio Romano se realizaron muy pocas

operaciones Estadísticas, con la notable excepción de las relaciones de tierras

pertenecientes a la Iglesia, compiladas por Pipino el Breve en el 758 y por Carlomagno

en el 762 DC. Durante el siglo IX se realizaron en Francia algunos censos parciales de

siervos.

En Inglaterra, Guillermo el Conquistador recopiló el Domesday Book o libro del

Gran Catastro para el año 1086, un documento de la propiedad, extensión y valor de las

tierras de Inglaterra. Esa obra fue el primer compendio estadístico de Inglaterra.

Aunque Carlomagno, en Francia; y Guillermo el Conquistador, en Inglaterra, trataron de

revivir la técnica romana, los métodos estadísticos permanecieron casi olvidados durante la Edad Media.

Durante los siglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leonardo de Vinci, Nicolás Copérnico,

Galileo, Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y René Descartes, hicieron grandes

operaciones al método científico, de tal forma que cuando se crearon los Estados

Nacionales y surgió como fuerza el comercio internacional existía ya un método capaz de aplicarse a los datos económicos.

Para el año 1532 empezaron a registrarse en Inglaterra las defunciones debido al temor

que Enrique VII tenía por la peste. Más o menos por la misma época, en Francia la ley

exigió a los clérigos registrar los bautismos, fallecimientos y matrimonios. Durante un

brote de peste que apareció a fines de la década de 1500, el gobierno inglés

comenzó a publicar estadística semanales de los decesos. Esa costumbre continuó

muchos años, y en 1632 estos Bills of Mortality (Cuentas de Mortalidad) contenían los

nacimientos y fallecimientos por sexo. En 1662, el capitán John Graunt usó documentos

que abarcaban treinta años y efectuó predicciones sobre el número de personas que

morirían de varias enfermedades y sobre las proporciones de nacimientos de varones y

mujeres que cabría esperar.

El trabajo de Graunt, condensado en su obra Natural and

Political Observations...Made upon the Bills of Mortality (Observaciones Políticas y

Naturales ... Hechas a partir de las Cuentas de Mortalidad), fue un esfuerzo innovador en

el análisis estadístico.

Por el año 1540 el alemán Sebastián Muster realizó una compilación estadística de los

recursos nacionales, comprensiva de datos sobre organización política, instrucciones

sociales, comercio y poderío militar. Durante el siglo XVII aportó indicaciones más

concretas de métodos de observación y análisis cuantitativo y amplió los campos de la

inferencia y la teoría Estadística.

Los eruditos del siglo XVII demostraron especial interés por la Estadística Demográfica

como resultado de la especulación sobre si la población aumentaba, decrecía o

permanecía estática.

En los tiempos modernos tales métodos fueron resucitados por algunos reyes que

necesitaban conocer las riquezas monetarias y el potencial humano de sus respectivos

países. El primer empleo de los datos estadísticos para fines ajenos a la política tuvo

lugar en 1691 y estuvo a cargo de Gaspar Neumann, un profesor alemán que vivía en

Breslau. Este investigador se propuso destruir la antigua creencia popular de que en los

años terminados en siete moría más gente que en los restantes, y para lograrlo hurgó

pacientemente en los archivos parroquiales de la ciudad. Después de revisar miles de

partidas de defunción pudo demostrar que en tales años no fallecían más personas que

en los demás. Los procedimientos de Neumann fueron conocidos por el astrónomo inglés

Halley, descubridor del cometa que lleva su nombre, quien los aplicó al estudio de la vida

humana. Sus cálculos sirvieron de base para las tablas de mortalidad que hoy utilizan

todas las compañías de seguros.

Durante el siglo XVII y principios del XVIII, matemáticos como Bernoulli, Francis

Maseres, Lagrange y Laplace desarrollaron la teoría de probabilidades.

En 1733, por de Moivre fue publicada originalmente la ecuación de la curva normal y aprovechada por Karl Pearson en 1924. Entre 1830 – 1833 Charles Lyell Publico 3 volúmenes de “Principles of Geology”, usando un razonamiento estadístico en su elaboración. Charles Darwin, 1809-1882, Biólogo, leyó en el Beagle el libro de Lyell, el cual utilizó en la formulación de sus teorías de base biométrica o estadística.

Entretanto, en el período del 1800 al 1820 se desarrollaron dos conceptos matemáticos

fundamentales para la teoría Estadística; la teoría de los errores de observación,

aportada por Laplace y Gauss; y la teoría de los mínimos cuadrados desarrollada por

Laplace, Gauss y Legendre. A finales del siglo XIX, Sir Francis Gaston ideó el método

conocido por Correlación, que tenía por objeto medir la influencia relativa de los factores

sobre las variables. De aquí partió el desarrollo del coeficiente de correlación creado por

Karl Pearson y otros cultivadores de la ciencia biométrica como J. Pease Norton, R. H.

Hooker y G. Udny Yule, que efectuaron amplios estudios sobre la medida de las

relaciones.

Los progresos más recientes en el campo de la Estadística se refieren al ulterior

desarrollo del cálculo de probabilidades, particularmente en la rama denominada

indeterminismo o relatividad, se ha demostrado que el determinismo fue reconocido en

la Física como resultado de las investigaciones atómicas y que este principio se juzga

aplicable tanto a las ciencias sociales como a las físicas.R.A. Fisher,1890-1962, recibió influencias de Karl Pearson y de Student, e hizo numerosas e importantes contribuciones a la estadística. Una de sus publicaciones más importantes fue “Statistical Methods for Research Workers”, en 1925.El y sus estudiantes dieron considerable impulso de los procedimientos estadísticos en muchos campos, particularmente en agricultura, biología y genética.

PROBABILIDAD

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal »tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.