MATEMATICAS II(CUARTO PARCIAL): Temas del bloque IX Y X de matematicas II

domingo, 1 de junio de 2014

Temas del bloque IX Y X de matematicas II

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Las medidas de tendencia central pueden ser para datos no agrupados y para datos agrupado.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

Media aritmética:

Es conocida tambien como promedio ya es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

Dado un conjunto numérico de datos, x₁, x₂, ..., x_n, se define su media aritmética como

\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

Ejemplo para calcular media aritmetica

Las notas de cinco alumnos fueron:

6.0, 5.4,3.1,7.0 y 6.1

calcula la media aritmetica

niño     nota

 1       6,0    ·Primero, se suman las notas:
 2       5,4        6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6
 3       3,1    ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
 4       7,0         27,6/5=5,52
 5       6,1

2.- Media ponderada

La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación o peso y luego sumarlos, para obtener una suma ponderada. A continuación se divide la suma ponderada entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada

la media ponderada se calcula de la siguiente manera

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i w_i }{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{ x_1 w_1 + x_2 w_2 + x_3 w_3 + ... + x_n w_n }{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}

Ejemplo de media ponderada

si las dos primeras pruebas tienen un peso de 30% y 20% respectivamente, mientras que la última prueba tiene un peso de 50% y las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2, 8.1 entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos: $X = \{6.4, 9.2, 8.1\} \,$
Pesos: $W = \{0.30, 0.20, 0.50\} \,$

Media Ponderada: $\bar{x} = \frac{6.4\cdot 0.30 + 9.2\cdot 0.20 + 8.1\cdot 0.50}{0.30+0.20+0.50}= 7.81\,$

3.- Media geométrica

la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

$\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$

Ejemplo:

La media geométrica de 2 y 18 es

$\sqrt[2]{2 \cdot 18} = \sqrt[2]{36} = 6$

4.- Media armonica

La **media armónica', denominada H**, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x₁, x₂, ... , x_n la media armónica será igual a:

${H} = {n \over { \sum_{i=1}^n{1 \over x_i}}} = {n \over ({1 \over x_1}+\cdots+{1 \over x_n})}$

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Ejemplo:

Supongase que una familia realiza un viaje en automóvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

5.- Mediana

La mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Ejemplo:
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas $N_i$ . Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene $X (39+1) / 2 = X 20$ .

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

6.- Moda

La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

$\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1} }{n_i-n_{i+1} }$

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

$\gamma n_{i-1} \gamma n_{i+1}$

Ejemplo:

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

f_i

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100

7.- Cuartil

Recuerde que, los Cuartiles, al igual que la Mediana y cualquier Cuantil, son Medidas de Posición, por lo tanto se debe calcular primero la Posición del Q2.

DATOS

N=94

se calcula la Posición del Q2

este valor se busca en la columna de las Frecuencias Acumuladas y se observa que cae en la Clase 5, en donde esta el 58, sobre esta columna. Recuerde que la Clase 5 contiene la cantidad de números que van de 38 a 58.
Esto indica que la Clase 5 es la referencia para tomar los datos que se sustituirán en la formula que permitirá calcular el Q2.

DATOS

LRIQ2=Limite Real Inferior de la Clase del Q2=49.5

FacumQ2 -1=Frecuencia Acumulada Anterior a la de la Clase del Q2.=37

FabsQ2=Frecuencia Absoluta donde esta el Q2.=21

AC=Ancho de Clase=8

N=94

La formula

Note que este ultimo valor es parte del intervalo de la Clase 5. Note también que el Valor del Cuartil dos es igual al Valor de la Mediana.

8.- Decil

Se calcula primero la posición de este cuantil.

Este valor cae en la Clase 5, en donde esta el 58 sobre la columna de la Frecuencia Acumulada. Al igual que en los casos anteriores, escogemos los datos tomando de referencia a esta Clase.

DATOS

LRID5=Limite Real Inferior de la Clase del D5=49.5

FacumD5 -1=Frecuencia Acumulada Anterior a la de la Clase del D5.=37

FabsD5=Frecuencia Absoluta donde esta el D5.=21

AC=Ancho de Clase=8

N=94

la formula del Decil 5 es

Se observa que este valor es parte del intervalo de la Clase 5.
Note también que el D5 es igual a la Mediana e igual al Cuartil 2. Esto es porque todos ellos indican la misma posición en en cualquier base de datos. Las medidas de posición anteriores también son iguales a el Porcentil 50, ya que indica exactamente la misma posición que aquellas.
Esto significa que podemos predecir, sin necesidad de realizar ningún calculo, que el valor del P50=53.31.

Medidas de tendencia central de datos agrupados

Existen diversas medidas de tendencia central para calcular y organizar datos agrupado o de población tales son:

1.- Frecuencia absoluta

Es el promedio de una suma predeterminada y además consiste en saber cual es el número o símbolo de mayor equivalencia. (n_i) de una variable estadísticaX_i, es el número de veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamaño de la muestra aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).

2.- Frecuencia relativa

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N). Es decir,

$f_i = \frac{n_i}{N} = \frac{n_i}{\sum_i n_i}$

siendo el f_i para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (p_i)

4.- marca de clase

Marca de clase: Es el punto medio de una clase y se obtiene sumando los límites inferiores (LIA) y superiores de una clase (LSA) y dividiendo el resultado entre dos. La marca de clase la denotaremos como MC. =2 LSA+ LIA/2
Donde:
M C = Marca de clase
LIA = Límite inferior aparente
LSA = Límite superior aparente
Ejemplo: De la siguiente tabla obtenga la marca de clase.

2 LSA LIA MC

5.- rango

En estadística descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:

$x_1=185, x_2=165, x_3=170, x_4=182, x_5=155$

es posible ordenar los datos como sigue:

$x_{(1)}=155, x_{(2)}=165, x_{(3)}=170, x_{(4)}=182, x_{(5)}=185$

donde la notación x_(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:

$R=x_{(k)}-x_{(1)}$

En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.

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